Punt de l'infinit

El punt de l'infinit, punt a l'infinit o punt impropi és una entitat topològica i geomètrica que s'introdueix a manera de tancament o frontera infinita del conjunt dels nombres reals. Quan s'afegeix a la recta real, genera una corba tancada (vegeu fig. 1) coneguda com a recta projectiva real, $\mathbb {R} P^{1}$ , que no és equivalent a la recta real ampliada, que té dos punts diferents en l'infinit:

${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}$

Topologia T

Perquè el punt de l'infinit representi efectivament l'infinit real es defineix en ${\overline {\mathbb {R} }}$ la topologia ${\overline {T}}$ formada per tots els conjunts:

A, que són oberts de $\mathbb {R}$
B, que són complementaris de conjunts compactes (tancats i fitats) de $\mathbb {R}$

Els conjunts A són els oberts de ${\overline {\mathbb {R} }}$ que no contenen el $\infty$ , mentre que els conjunts B són els que sí el contenen.

Sigui $x_{n}\in \mathbb {R}$ una successió de nombres reals tals que $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$ . Dins del conjunt dels nombres reals, això vol dir únicament que:

$\forall K>0\ \exists m\in \mathbb {N} |si\ n>m\Rightarrow x_{n}\notin [-K,K]$

Però aquesta mateixa condició implica en ${\overline {\mathbb {R} }}$ que:

$\forall B|\infty \in B\ \exists m\in N|si\ n>m\Rightarrow x_{n}\in B$

És a dir, que en ${\overline {\mathbb {R} }}$ s'escriu també $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$ . No obstant això, només en ${\overline {\mathbb {R} }}$ es pot dir que la successió $x_{n}\,$ convergeix, ja que $\infty \notin \mathbb {R}$ .

En el pla complex

	Fig. cp1: projecció estereogràfica del pla complex estès sobre l'esfera de Riemann

	Fig. cp2: l'esfera de Riemann pot ser visualitzada com el pla complex embolicat al voltant d'una esfera

El punt de l'infinit també pot afegir-se al pla complex, $\mathbb {C} ^{1}$ , de manera que es transformi en una superfície tancada (vegeu fig. cp1 i fig. cp2), la recta projectiva complexa $\mathbb {C} P^{1}$ , també anomenada esfera de Riemann, una esfera sobre el pla complex i des del pol superior del qual es projecta la resta de punts de l'esfera sobre el pla complex D'aquesta manera, s'estableix una bijectivitat en la qual a cada punt de l'esfera en correspon un del pla complex. L'homòleg del punt des del qual projectem estereogràficament es converteix en el punt de l'infinit.

Rectes paral·leles en ℝ²

Igual que dues rectes assecants comparteixen un punt, dues rectes paral·leles comparteixen una direcció, per la qual cosa aquestes direccions també són conegudes com a punts impropis d'aquestes rectes en les quals es troben. Per exemple, en $\mathbb {R} ^{2}$ no és possible determinar amb exactitud la posició del punt de l'infinit mitjançant unes coordenades absolutes $(x,y)\,$ . Per aconseguir-ho, s'acudeix a les coordenades homogènies $(x',y',w)\,$ , en què $x'\,$ i $y'\,$ representen la direcció del vector director de la recta. Les anteriors coordenades absolutes $(x,y)\,$ venen donades per:

$(x,y)=({x' \over w},{y' \over w})$

El punt $(4,6)\,$ podria representar-se, per exemple, com $(8,12,2)\,$ o com $(2,3,{\tfrac {1}{2}})$ . La representació del punt de l'infinit s'obté igualant $w=0\,$ , així:

$(x',y',0)\,$

El punt de l'infinit de l'eix OX seria el $(1,0,0)\,$ , el $(2,0,0)\,$ , etc.

Vegeu també